<div dir="ltr"><div dir="ltr"><br></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">Il giorno mar 2 feb 2021 alle ore 14:06 Carsten Uphoff <<a href="mailto:uphoff@geophysik.uni-muenchen.de">uphoff@geophysik.uni-muenchen.de</a>> ha scritto:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">Hi everyone,<br>
<br>
I'm interested in testing a BDDC preconditioner for Poisson and <br>
Elasticity equations using the symmetric interior penalty Galerkin <br>
method. However, I wonder how one would apply PCBDDC for discontinuous <br>
Galerkin.<br>
<br>
The major problem is that for DG you cannot write the bilinear form as a <br>
sum of local bilinear forms which only involve degrees of freedom of the <br>
respective local subdomain. In particular, coupling terms at the <br>
interface of two subdomains, such as [[u]], require DOFs from two <br>
subdomains. Therefore, it is not straightforward to write the operator A <br>
as sum of local operators in the form<br>
A = sum_{i=1}^N R_i A_i R_i^T<br>
where A_i are local operators and R_i is the local-to-global map.<br>
<br>
In the literature, I found two possible solutions:<br>
- Double degrees of freedom at the subdomain interface [1]<br>
- Split the bilinear form a_h in the two parts a_{h,D} and a_{h,C}, <br>
where the first leads to an easy-to-invert operator that is <br>
discontinuous across the subdomain interface, and the second is <br>
continuous across the subdomain interface. As a_{h,C} is continuous, one <br>
may write the bilinear form as sum of local bilinear forms only <br>
involving the local degrees of freedom [2]<br>
<br>
The first approach [1] seems unattractive as you double the DOFs in the <br>
Schur complement. For [2] I think one might be able to apply PCBDDC on <br>
A_{h,C} and apply A_{h,D}^{-1} as an additive correction, cf. (2.23) in [2].<br>
<br>
Questions:<br>
- Is there any straightforward way to apply PCBDDC for DG which I am <br>
missing?<br></blockquote><div><br></div>I don't think so. I know Lawrence gave it some thoughts but never heard about a final solution about how to represent subdomain DG matrices via a MATIS.<br></div><div class="gmail_quote"> <blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">
- Does it make sense to apply PCBDDC on A_{h,C}? Could I combine an <br>
additive correction with PCBDDC using PCCOMPOSITE, e.g.?<br></blockquote><div><br></div><div>You either use PCComposite or write a small PCSHELL that implements PCApply as additive combination<br></div><div> </div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">
- Does anyone already test PCBDDC for DG?<br></blockquote><div><br></div><div>Not that I know</div><div> <br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">
<br>
I appreciate your help and I'm looking forward for your comments!<br>
<br>
Best regards,<br>
Carsten<br>
<br>
[1] Dryja and Galvis and Sarkis, Numer. Math. 131:737-770, 2015, <br>
doi:10.1007/s00211-015-0705-x<br>
[2] Brenner and Park and Sung, ETNA 46:190-214, 2017, <br>
<a href="http://etna.mcs.kent.edu/vol.46.2017/pp190-214.dir/pp190-214.pdf" rel="noreferrer" target="_blank">http://etna.mcs.kent.edu/vol.46.2017/pp190-214.dir/pp190-214.pdf</a><br>
<br>
</blockquote></div><br clear="all"><br>-- <br><div dir="ltr" class="gmail_signature">Stefano</div></div>