<div dir="ltr"><div class="gmail_extra"><div class="gmail_quote">On Wed, Apr 5, 2017 at 9:57 PM, Jed Brown <span dir="ltr"><<a href="mailto:jed@jedbrown.org" target="_blank">jed@jedbrown.org</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div class="HOEnZb"><div class="h5">Matthew Knepley <<a href="mailto:knepley@gmail.com">knepley@gmail.com</a>> writes:<br>
<br>
> On Wed, Apr 5, 2017 at 1:13 PM, Jed Brown <<a href="mailto:jed@jedbrown.org">jed@jedbrown.org</a>> wrote:<br>
><br>
>> Matthew Knepley <<a href="mailto:knepley@gmail.com">knepley@gmail.com</a>> writes:<br>
>><br>
>> > On Wed, Apr 5, 2017 at 12:03 PM, Jed Brown <<a href="mailto:jed@jedbrown.org">jed@jedbrown.org</a>> wrote:<br>
>> ><br>
>> >> Matthew Knepley <<a href="mailto:knepley@gmail.com">knepley@gmail.com</a>> writes:<br>
>> >> > As a side note, I think using FV to solve an elliptic equation should<br>
>> be<br>
>> >> a<br>
>> >> > felony. Continuous FEM is excellent for this, whereas FV needs<br>
>> >> > a variety of twisted hacks and is always worse in terms of computation<br>
>> >> and<br>
>> >> > accuracy.<br>
>> >><br>
>> >> Unless you need exact (no discretization error) local conservation,<br>
>> >> e.g., for a projection in a staggered grid incompressible flow problem,<br>
>> >> in which case you can use either FV or mixed FEM (algebraically<br>
>> >> equivalent to FV in some cases).<br>
>> >><br>
>> ><br>
>> > Okay, the words are getting in the way of me understanding. I want to see<br>
>> > if I can pull something I can use out of the above explanation.<br>
>> ><br>
>> > First, "locally conservative" bothers me. It does not seem to indicate<br>
>> what<br>
>> > it really does. I start with the Poisson equation<br>
>> ><br>
>> >   \Delta p = f<br>
>> ><br>
>> > So the setup is then that I discretize both the quantity and its<br>
>> derivative<br>
>> > (I will use mixed FEM style since I know it better)<br>
>> ><br>
>> >   div  v = f<br>
>> >   grad p = v<br>
>> ><br>
>> > Now, you might expect that "local conservation" would give me the exact<br>
>> > result for<br>
>> ><br>
>> >   \int_T p<br>
>> ><br>
>> > everywhere, meaning the integral of p over every cell T.<br>
>><br>
>> Since when is pressure a conserved quantity?<br>
>><br>
>> In your notation above, local conservation means<br>
>><br>
>>   \int_T (div v - f) = 0<br>
>><br>
>> I.e., if you have a tracer moving in a source-free velocity field v<br>
>> solving the above equation, its concentration satisfies<br>
>><br>
>>   c_t + div(c v) = 0<br>
>><br>
>> and it will be conserved element-wise.<br>
>><br>
><br>
> But again that seems like a terrible term. What that statement above means<br>
> is that globally<br>
> I will have no loss, but the individual amounts in each cell are not<br>
> accurate to machine error,<br>
> they are accurate to discretization error because the flux is only accurate<br>
> to discretization error.<br>
<br>
</div></div>No. The velocity field is divergence-free up to solver tolerance.  Since<br>
the piecewise constants are in the test space, there is a literal<br>
equation that reads<br>
<br>
  \int_T (div v - f) = 0.<br>
<br>
That holds up to solver tolerance, not just up to discretization error.<br>
That's what local conservation means.<br>
<br>
If you use continuous FEM, you don't have a statement like the above.<br>
</blockquote></div><br>Okay, that is what you mean by local conservation. That state is still only accurate to discretization error.<br></div><div class="gmail_extra">Why do I care about satisfying that equation to machine precision?</div><div class="gmail_extra"><br></div><div class="gmail_extra">  Matt</div><div class="gmail_extra"><br></div><div class="gmail_extra">-- <br></div><div class="gmail_extra"><div class="gmail_signature" data-smartmail="gmail_signature">What most experimenters take for granted before they begin their experiments is infinitely more interesting than any results to which their experiments lead.<br>-- Norbert Wiener</div>
</div></div>