<div dir="ltr"><div class="gmail_extra"><div class="gmail_quote">On Tue, Dec 13, 2016 at 12:12 AM, Praveen C <span dir="ltr"><<a href="mailto:cpraveen@gmail.com" target="_blank">cpraveen@gmail.com</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div class="gmail_extra"><div class="gmail_quote">On Tue, Dec 13, 2016 at 2:50 AM, Matthew Knepley <span dir="ltr"><<a href="mailto:knepley@gmail.com" target="_blank">knepley@gmail.com</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div class="gmail_extra"><div class="gmail_quote"><span class=""><span>On Mon, Dec 12, 2016 at 2:29 AM, Praveen C <span dir="ltr"><<a href="mailto:cpraveen@gmail.com" target="_blank">cpraveen@gmail.com</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"><div dir="ltr">Hello Matt<div><br></div><div>I have attached the detailed output.</div><div><br></div><div>Fenics automatically computes Jacobian, so I think Jacobian should be correct. I am not able to run the Fenics code without giving the Jacobian. I am currently writing a C code where I can test this.</div><div><br></div><div>This equation is bit weird. Its like this</div><div><br></div><div>u_t = ( K u_x)_x</div><div><br></div><div>K = u / sqrt(u_x^2 + eps^2)</div></div></blockquote><div><br></div></span></span><div>I do not understand how to show parabolicity in this case. However, I have a more fundamental misunderstanding. In your code, I see</div><div><br></div><div>  <span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">R0</span><span style="background-color:rgb(247,247,247);color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap"> </span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-o" style="font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px;color:rgb(102,102,102)">=</span><span style="background-color:rgb(247,247,247);color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap"> </span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">idt</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-o" style="font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px;color:rgb(102,102,102)">*</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-p" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">(</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">u</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-o" style="font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px;color:rgb(102,102,102)">-</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">uold</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-p" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">)</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-o" style="font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px;color:rgb(102,102,102)">*</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">v</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-o" style="font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px;color:rgb(102,102,102)">*</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">dx</span><span style="background-color:rgb(247,247,247);color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap"> </span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-o" style="font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px;color:rgb(102,102,102)">+</span><span style="background-color:rgb(247,247,247);color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap"> </span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">K0</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-o" style="font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px;color:rgb(102,102,102)">*</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">ux</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-o" style="font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px;color:rgb(102,102,102)">*</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">vx</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-o" style="font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px;color:rgb(102,102,102)">*</span><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">dx</span></div><div><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px"><br></span></div><div><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">for the residual, which looks like</span></div><div><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px"><br></span></div><div><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">  R0 = u_t + K u_x</span></div><div><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px"><br></span></div><div><span class="m_-4041510908517446764m_3106743715358681465gmail-n" style="color:rgb(51,51,51);font-size:14px;white-space:pre-wrap;margin:0px;padding:0px">to me. Where is the extra derivative you show above?</span></div><div><br></div></div></div></div></blockquote><div><br></div><div>Hello Matt</div><div><br></div><div>vx is derivative of test function. So the last term is a second order differential operator. The PDE in full looks like this</div><div><br></div><div>u_t = u_x^2/sqrt(u_x^2 + eps^2) + eps^2 * u * u_xx / (u_x^2 + eps^2)^1.5</div><div><br></div><div>With u > 0, the last term is parabolic. But numerically, I solve it in divergence form.</div></div></div></div></blockquote><div><br></div><div>Alright, the Jacobian looks good and you just have a hard nonlinear problem.</div><div><br></div><div>Okay, so this problem is singularly perturbed, in that as eps->0, its loses parabolicity (I think) because the</div><div>u_xx term vanishes? The reason I am so mystified by this is that I did not think that derivatives were supposed</div><div>to grow with parabolic evolution, but clearly that is happening here.</div><div><br></div><div>You can certainly use adaptive time stepping with TS, but you could also try using grid sequencing, since for a big</div><div>enough H it appears you converge fast.</div><div><br></div><div>  Thanks,</div><div><br></div><div>     Matt</div><div><br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div class="gmail_extra"><div class="gmail_quote"><div>Best</div><span class="HOEnZb"><font color="#888888"><div>praveen </div></font></span></div></div></div>
</blockquote></div><br><br clear="all"><div><br></div>-- <br><div class="gmail_signature" data-smartmail="gmail_signature">What most experimenters take for granted before they begin their experiments is infinitely more interesting than any results to which their experiments lead.<br>-- Norbert Wiener</div>
</div></div>