<div dir="ltr"><br><div class="gmail_extra"><br><div class="gmail_quote">On Tue, Mar 1, 2016 at 2:07 PM, Boyce Griffith <span dir="ltr"><<a href="mailto:griffith@cims.nyu.edu" target="_blank">griffith@cims.nyu.edu</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left-width:1px;border-left-color:rgb(204,204,204);border-left-style:solid;padding-left:1ex"><div style="word-wrap:break-word"><span class=""><br><div><blockquote type="cite"><div>On Mar 1, 2016, at 12:06 PM, Mohammad Mirzadeh <<a href="mailto:mirzadeh@gmail.com" target="_blank">mirzadeh@gmail.com</a>> wrote:</div><br><div><div dir="ltr" style="font-family:Helvetica;font-size:12px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;letter-spacing:normal;line-height:normal;text-align:start;text-indent:0px;text-transform:none;white-space:normal;word-spacing:0px">Nice discussion.<div><br><div class="gmail_extra"><br><div class="gmail_quote">On Tue, Mar 1, 2016 at 10:16 AM, Boyce Griffith<span> </span><span dir="ltr"><<a href="mailto:griffith@cims.nyu.edu" target="_blank">griffith@cims.nyu.edu</a>></span><span> </span>wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left-width:1px;border-left-color:rgb(204,204,204);border-left-style:solid;padding-left:1ex"><div style="word-wrap:break-word"><br><div><span><blockquote type="cite"><div>On Mar 1, 2016, at 9:59 AM, Mark Adams <<a href="mailto:mfadams@lbl.gov" target="_blank">mfadams@lbl.gov</a>> wrote:</div><br><div><div dir="ltr"><br><div class="gmail_extra"><br><div class="gmail_quote">On Mon, Feb 29, 2016 at 5:42 PM, Boyce Griffith<span> </span><span dir="ltr"><<a href="mailto:griffith@cims.nyu.edu" target="_blank">griffith@cims.nyu.edu</a>></span><span> </span>wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left-width:1px;border-left-color:rgb(204,204,204);border-left-style:solid;padding-left:1ex"><div style="word-wrap:break-word"><div><div><br><div><blockquote type="cite"><div>On Feb 29, 2016, at 5:36 PM, Mark Adams <<a href="mailto:mfadams@lbl.gov" target="_blank">mfadams@lbl.gov</a>> wrote:</div><br><div><div dir="ltr"><div class="gmail_extra"><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left-width:1px;border-left-color:rgb(204,204,204);border-left-style:solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div class="gmail_extra"><div class="gmail_quote"><span><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left-width:1px;border-left-color:rgb(204,204,204);border-left-style:solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div class="gmail_extra"><div class="gmail_quote"><div><br></div><div>GAMG is use for AMR problems like this a lot in BISICLES.</div></div></div></div></blockquote><div><br></div></span><div>Thanks for the reference. However, a quick look at their paper suggests they are using a finite volume discretization which should be symmetric and avoid all the shenanigans I'm going through!<span> </span></div></div></div></div></blockquote><div><br></div><div>No, they are not symmetric.  FV is even worse than vertex centered methods.  The BCs and the C-F interfaces add non-symmetry.</div></div></div></div></div></blockquote></div><div><br></div></div></div><div>If you use a different discretization, it is possible to make the c-f interface discretization symmetric --- but symmetry appears to come at a cost of the reduction in the formal order of accuracy in the flux along the c-f interface. I can probably dig up some code that would make it easy to compare.</div></div></blockquote><div><br></div><div>I don't know.  Chombo/Boxlib have a stencil for C-F and do F-C with refluxing, which I do not linearize.  PETSc sums fluxes at faces directly, perhaps this IS symmetric? Toby might know.</div></div></div></div></div></blockquote><div><br></div></span><div>If you are talking about solving Poisson on a composite grid, then refluxing and summing up fluxes are probably the same procedure.</div></div></div></blockquote><div><br></div><div>I am not familiar with the terminology used here. What does the refluxing mean?</div><div> </div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left-width:1px;border-left-color:rgb(204,204,204);border-left-style:solid;padding-left:1ex"><div style="word-wrap:break-word"><div><div><br></div><div>Users of these kinds of discretizations usually want to use the conservative divergence at coarse-fine interfaces, and so the main question is how to set up the viscous/diffusive flux stencil at coarse-fine interfaces (or, equivalently, the stencil for evaluating ghost cell values at coarse-fine interfaces). It is possible to make the overall discretization symmetric if you use a particular stencil for the flux computation. I think this paper (<a href="http://www.ams.org/journals/mcom/1991-56-194/S0025-5718-1991-1066831-5/S0025-5718-1991-1066831-5.pdf" target="_blank">http://www.ams.org/journals/mcom/1991-56-194/S0025-5718-1991-1066831-5/S0025-5718-1991-1066831-5.pdf</a>) is one place to look. (This stuff is related to "mimetic finite difference" discretizations of Poisson.) This coarse-fine interface discretization winds up being symmetric (although possibly only w.r.t. a weighted inner product --- I can't remember the details), but the fluxes are only first-order accurate at coarse-fine interfaces.</div><span><font color="#888888"><div><br></div></font></span></div></div></blockquote><div><br></div><div>Right. I think if the discretization is conservative, i.e. discretizing div of grad, and is compact, i.e. only involves neighboring cells sharing a common face, then it is possible to construct symmetric discretization. An example, that I have used before in other contexts, is described here:<span> </span><a href="http://physbam.stanford.edu/~fedkiw/papers/stanford2004-02.pdf" target="_blank">http://physbam.stanford.edu/~fedkiw/papers/stanford2004-02.pdf</a></div><div><br></div><div>An interesting observation is although the fluxes are only first order accurate, the final solution to the linear system exhibits super convergence, i.e. second-order accurate, even in L_inf. Similar behavior is observed with non-conservative, node-based finite difference discretizations. </div></div></div></div></div></div></blockquote><br></div></span><div>I don't know about that --- check out Table 1 in the paper you cite, which seems to indicate first-order convergence in all norms.</div></div></blockquote><div><br></div><div>Sorry my bad. That was the original work which was later extended in <a href="http://dx.doi.org/10.1016/j.compfluid.2005.01.006">doi:10.1016/j.compfluid.2005.01.006</a> to second order (c.f. section 3.3) by using flux weighting in the traverse direction.</div><div> </div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left-width:1px;border-left-color:rgb(204,204,204);border-left-style:solid;padding-left:1ex"><div style="word-wrap:break-word"><div><br></div><div>The symmetric discretization in the Ewing paper is only slightly more complicated, but will give full 2nd-order accuracy in L-1 (and maybe also L-2 and L-infinity). One way to think about it is that you are using simple linear interpolation at coarse-fine interfaces (3-point interpolation in 2D, 4-point interpolation in 3D) using a stencil that is symmetric with respect to the center of the coarse grid cell.</div><div><div><br></div></div></div></blockquote><div><br></div><div>I'll look into that paper. One can never get enough of ideas for C-F treatments in AMR applications :).</div><div> </div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left-width:1px;border-left-color:rgb(204,204,204);border-left-style:solid;padding-left:1ex"><div style="word-wrap:break-word"><div><div></div><div>A (discrete) Green's functions argument explains why one gets higher-order convergence despite localized reductions in accuracy along the coarse-fine interface --- it has to do with the fact that errors from individual grid locations do not have that large of an effect on the solution, and these c-f interface errors are concentrated along on a lower dimensional surface in the domain.</div></div></div></blockquote><div><br></div><div>This intuitively makes sense and in fact when you plot the error, you do see spikes at the C-F interfaces. Do you know of a resource that does a rigorous analysis of the C-F treatment on the solution error?</div><div> </div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left-width:1px;border-left-color:rgb(204,204,204);border-left-style:solid;padding-left:1ex"><div style="word-wrap:break-word"><div><span class=""><font color="#888888"><div><br></div><div>-- Boyce</div></font></span></div></div></blockquote></div><br></div></div>