<div dir="ltr"><div class="gmail_extra"><div class="gmail_quote">On Tue, Oct 20, 2015 at 1:32 PM, Fande Kong <span dir="ltr"><<a href="mailto:fdkong.jd@gmail.com" target="_blank">fdkong.jd@gmail.com</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left-width:1px;border-left-color:rgb(204,204,204);border-left-style:solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr">Jed, Thanks.<div><br></div><div>It means that the inner product against basis "n_i" is just the function value at the point "x_i" if the function is <span style="font-size:13px">sufficiently regular, e.g., sin(x) or cos(x).</span></div></div></blockquote><div><br></div><div>No, n_i is not part of the basis for the approximation space, its a basis vector for the dual space. Thus its</div><div>not an inner product, it the dual pairing. Here we can always use an integral since the dual elements can</div><div>be represented by measures</div><div><br></div><div>  Riesz-Markov-Kakutani Representation Theorem (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riesz%E2%80%93Markov%E2%80%93Kakutani_representation_theorem">https://en.wikipedia.org/wiki/Riesz%E2%80%93Markov%E2%80%93Kakutani_representation_theorem</a>)</div><div><br></div><div>    Matt</div><div> </div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left-width:1px;border-left-color:rgb(204,204,204);border-left-style:solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div>The basis function at x_i is "x-x_i" which is not the one we use to discretize the equations?</div><div><br></div></div><div class="gmail_extra"><br><div class="gmail_quote">On Tue, Oct 20, 2015 at 12:03 PM, Jed Brown <span dir="ltr"><<a href="mailto:jed@jedbrown.org" target="_blank">jed@jedbrown.org</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left-width:1px;border-left-color:rgb(204,204,204);border-left-style:solid;padding-left:1ex"><span>Fande Kong <<a href="mailto:fdkong.jd@gmail.com" target="_blank">fdkong.jd@gmail.com</a>> writes:<br>
> Any body knows the mathematics formula corresponding to the function<br>
> DMPlexProjectFunction? I already went through the code, but I do not<br>
> understand quite well. I will appreciate any help.<br>
<br>
</span>The definition of a finite element involves a dual space (the basis for<br>
which is sometimes called the "nodes").  For a typical finite element<br>
space, the "nodes" are Dirac delta functions at vertices.  Consequently,<br>
the inner product<br>
<br>
  (n_i, f) = \int \delta(x - x_i) f(x) = f(x_i)<br>
<br>
if f is sufficiently regular.  For more general dual basis functions,<br>
this inner product needs to be evaluated by quadrature.<br>
DMPlexProjectFunction does this projection.<br>
</blockquote></div><br></div>
</blockquote></div><br><br clear="all"><div><br></div>-- <br><div class="gmail_signature">What most experimenters take for granted before they begin their experiments is infinitely more interesting than any results to which their experiments lead.<br>-- Norbert Wiener</div>
</div></div>