<div dir="ltr">Hi Jed,<div><br></div><div>Here is my problem:</div><div><br></div><div>I want to evaluate a vector  u = B*dw where B and dw are a matrix and a stochastic vector. However, B = D^(-1/2) in which D is not explicitly assembled, so it is expensive to directly evaluate B. One solution is to make a Chebyshev approximation on B w.r.t. D, which is</div><div>B = sum(c_k*D_k)</div><div><br></div><div>Then, the problem becomes u = B*dw = sum(c_k*y_k)  where y_k = D_k*dw can be obtained from my solver.</div><div><br></div><div>Note c_k is the coefficient that is a function of approximate(not exact) max and min eigenvalues of D matrix. So I need an approximate range [ lambda_min, lambda_max ] to calculate c_k. If this range is accurate, then Chebyshev approximation can converge faster, otherwise may be slow or even never.</div><div><br></div><div>Xujun</div><div><br></div></div><div class="gmail_extra"><br><div class="gmail_quote">On Tue, Jun 2, 2015 at 3:26 PM, Jed Brown <span dir="ltr"><<a href="mailto:jed@jedbrown.org" target="_blank">jed@jedbrown.org</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><span class="">Xujun Zhao <<a href="mailto:xzhao99@gmail.com">xzhao99@gmail.com</a>> writes:<br>
<br>
> I need to evaluate the max and min eigenvalues of a matrix<br>
<br>
</span>You need the min and max eigenvalues of the preconditioner operator.<br>
But note that Chebyshev is not usually used as a stand-alone solver, but<br>
rather as a smoother for multigrid or occasionally as a polynomial<br>
preconditioner to control storage requirements or orthogonalization<br>
issues.  One exception is if your problem is fairly well-conditioned<br>
with an evenly spaced spectrum.<br>
<br>
In general, estimating the largest eigenvalue is relatively inexpensive,<br>
but computing the smallest to even moderate accuracy is as expensive as<br>
solving the linear system.<br>
<br>
<a href="https://scicomp.stackexchange.com/questions/34/how-can-i-estimate-the-condition-number-of-a-large-sparse-matrix-using-petsc" target="_blank">https://scicomp.stackexchange.com/questions/34/how-can-i-estimate-the-condition-number-of-a-large-sparse-matrix-using-petsc</a><br>
<div class="HOEnZb"><div class="h5"><br>
> when I make the Chebyshev polynomial approximation. Are there<br>
> efficient ways to do this?  Thank you very much.<br>
><br>
> Xujun<br>
</div></div></blockquote></div><br></div>