<div dir="ltr"><div class="gmail_extra"><div class="gmail_quote">On Sat, Nov 11, 2017 at 1:33 PM, Jed Brown <span dir="ltr"><<a href="mailto:jed@jedbrown.org" target="_blank">jed@jedbrown.org</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><span class="">Matthew Knepley <<a href="mailto:knepley@gmail.com">knepley@gmail.com</a>> writes:<br>
<br>
> On Sat, Nov 11, 2017 at 1:12 PM, Jed Brown <<a href="mailto:jed@jedbrown.org">jed@jedbrown.org</a>> wrote:<br>
><br>
>> Matthew Knepley <<a href="mailto:knepley@gmail.com">knepley@gmail.com</a>> writes:<br>
>><br>
>> >> Matrix and graph are equivalent concepts.<br>
>> ><br>
>> ><br>
>> > This is clearly wrong. A matrix is the coordinate representation of a<br>
>> > linear operator, and thus has a specific<br>
>> > behavior under coordinate transformations. A graph is just connectivity,<br>
>> > and really just a relation. I cannot<br>
>> > count the number of times Barry has ranted about this on petsc-maint<br>
>> > (usually about Vecs and arrays). The<br>
>> > mathematical object is not its data structure.<br>
>><br>
>> A graph Laplacian certainly does transform under coordinate<br>
>> transformation and indeed, we use that property to design effective<br>
>> coarsening strategies.  That one basis strikes you as intrinsically<br>
>> "more canonical" does not mean it isn't a linear operator.<br>
>><br>
><br>
> That is one operator. This is argument by anecdote. An arbitrary graph<br>
> is not a linear operator, but an arbitrary matrix definitely is (the<br>
> coordinate representation of one).<br>
<br>
</span>Dude, we solve linear systems and eigenproblems for arbitrary graphs.<br>
It isn't an anecdote.<br>
<br>
Barry (rightly) objects to a 2D array representing a function on a grid<br>
being considered a Matrix.  We don't "apply" it as a linear operator.<br>
There is no "vector" on which it operates.<br>
<br>
But we absolutely do with a graph.  Our vectors are functions at the<br>
vertices of the graph.  Applying the graph Laplacian tells us about<br>
local compatibility of the field over the vertices.  It is entirely<br>
analogous to fields over a grid.  You don't need a concept of "grid<br>
refinement" to have matrices.<br>
</blockquote></div><br>I don't think makes sense. You are saying, because a linear operator (the</div><div class="gmail_extra">graph Laplacian) can be defined using the graph, then the graph is identical</div><div class="gmail_extra">with this operator. I do not agree. Whereas the matrix means nothing else</div><div class="gmail_extra">but the linear operator which it represents.</div><div class="gmail_extra"><br></div><div class="gmail_extra">   Matt<br clear="all"><div><br></div>-- <br><div class="gmail_signature" data-smartmail="gmail_signature"><div dir="ltr"><div><div dir="ltr"><div>What most experimenters take for granted before they begin their experiments is infinitely more interesting than any results to which their experiments lead.<br>-- Norbert Wiener</div><div><br></div><div><a href="http://www.caam.rice.edu/~mk51/" target="_blank">https://www.cse.buffalo.edu/~knepley/</a><br></div></div></div></div></div>
</div></div>