<div class="gmail_extra">On Tue, Dec 4, 2012 at 3:48 PM, Anton Popov <span dir="ltr"><<a href="mailto:popov@uni-mainz.de" target="_blank">popov@uni-mainz.de</a>></span> wrote:<br><div class="gmail_quote"><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">
<div bgcolor="#FFFFFF" text="#000000">Some info on Picard linearization can be found for example in
    Chapter 2, Volume 2 of the  book by Zienkiewicz & Taylor on
    Finite Elements. Couple of equations are given on page 29 (5-th
    edition), although they're quite unclear. Nevertheless it can be
    helpful. <br>
    <br>
    The idea is that one approximates total nonlinear solution vector
    (not just defect correction) from a linear system with a secant
    matrix that itself depends on the latest solution, and a fixed (at
    least on a time step) right hand side.<br></div></blockquote><div><br></div><div>So you start with the quasi-linear form<br><br>F(u) := A(u) u - b = 0</div><div><br></div><div>then we can rewrite the iteration<br><br>
w = A(u)^{-1} b</div><div><br></div><div>in defect-correction form<br><br>w = u - A(u)^{-1} F(u)</div><div><br></div><div>because<br><br>A^{-1} F(u) = A^{-1} (A u - b) = u - A^{-1} b</div><div><br></div><div><br></div><div>
This means that "Newton with J(u) replaced by A(u)" is actually Picard. When we work in this defect correction form, we can incrementally add terms to the linear operator without changing the structure of the algorithm.</div>
<div><br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div bgcolor="#FFFFFF" text="#000000">
    <br>
    When no satisfactory approximation for solution is given, doing
    couple of Picard steps is a good strategy to start with. Then one
    can switch to Newton with/without line search. In general, the
    advantage of Picard is stability at the expense of linear vs.
    potentially quadratic convergence (for Newton, when exact Jacobian
    and blah-blah-blah is known).<br>
    <br>
    I know, these are just words, it's a bit difficult to generalize it
    for all possible cases.</div></blockquote></div><br></div>