We have seen two requests recently for closely related concepts: bordered systems containing dense rows and low-rank corrections. A bordered system has a block form<div><br></div><div>A B</div><div>C D</div><div><br></div>
<div>where A is something "usual", B consists of a few dense columns, and C consists of a few dense rows. We can store this efficiently in PETSc using MATNEST where A is any matrix type, B has type MATDENSE, and C has type MATTRANSPOSE encapsulating an MATDENSE.</div>
<div><br></div><div>Of course we can use a FieldSplit approach to solve with this, producing a low-rank correction appearing from the Schur complement of D: S = A - B D^{-1} C. Since D is usually very small and dense, we may have its inverse explicitly. S can be solved with using the Woodbury formula, provided you have a standard preconditioner for A.</div>
<div><br></div><div>We can easily implement MatSetValues_Transpose() to facilitate convenient assembly of bordered systems using MatSetValuesLocal(). Does anyone have a better idea for constructing these things?</div><div>
<br></div><div>The Woodbury formula stuff can probably be a new PC that operates on a MATSCHURCOMPLEMENT by doing direct solves with the eliminated matrix (typically redundantly in this case, because the dimension should be small for this to make sense). Other API suggestions?</div>